Sachverhalt:
A. C.________ (Mutter) und B.________ (Vater) sind die nicht miteinander verheirateten Eltern des Sohnes D.________ (geb. 2004). Am 5. November 2015 wies das Familiengericht Bremgarten den Antrag des Vaters auf Anordnung einer "erwachsenenschutzpsychiatrischen" Begutachtung der Mutter ab. Am 12. November 2015 entschied das Familiengericht über die gemeinsame Sorge der Eltern, den Wohnsitz des Kindes, die Frage der Erziehungsgutschriften, das Besuchsrecht des Vaters sowie über weitere, hier nicht relevante Punkte.
B. Der Vater gelangte gegen beide Entscheide des Familiengerichts an das Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, (Obergericht) und ersuchte um deren Aufhebung und Änderung. Die Mutter beantragte die Abweisung der Beschwerden. Mit Verfügung der Instruktionsrichterin des Obergerichts vom 4. Juli 2016 wurde Rechtsanwalt A.________ als Kindesvertreter bestellt. Dieser reichte im Verfahren seine Kostennote in der Höhe von Fr. 4'958.95 ein. Mit Entscheid vom 28. Oktober 2016 vereinigte das Obergericht beide Beschwerdeverfahren (xxx und yyy), wies die Beschwerden ab und erteilte der Mutter Weisungen. Schliesslich auferlegte es die Kosten des Beschwerdeverfahrens bestehend aus einer Entscheidgebühr von Fr. 2'000.-- sowie den Kosten der (anwaltlichen) Vertretung des Kindes von Fr. 2'781.-- dem Vater (Dispositiv-Ziff. 5) und wies die Obergerichtskasse an, dem Kindesvertreter den Betrag von Fr. 2'781.-- auszuzahlen.
C. Rechtsanwalt A.________ (Beschwerdeführer) hat am 5. Januar 2017 beim Bundesgericht gegen den Entscheid des Obergerichts Beschwerde erhoben. Er beantragt im Wesentlichen, die Dispositiv-Ziffern 5 und 7 des angefochtenen Entscheides aufzuheben, seine Entschädigung als Kindesvertreter auf Fr. 4'958.95 festzusetzen und die Dispositiv-Ziffern 5 und 7 den veränderten Verhältnissen anzupassen. Eventualiter seien die Ziffern 5 und 7 des angefochtenen Entscheides aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Vorinstanz und der Vater (Beschwerdegegner) haben auf Vernehmlassung verzichtet.
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